A公司向B公司购买一批货物，A公司于2月10日签发一张见票后1个月付款的银行承兑汇票。3月5日B公司向甲银行提示承兑并于当日获得承兑。3月10日B公司在与C公司的买卖合同中将承兑后的汇票背书转让给C公司，3月20日C公司为支付货款将该汇票背书转让给D公司，同时在汇票的背面记载“不得转让”字样。3月30日D公司为支付租金，将该汇票背书转让给E公司。
4月6日，持票人E公司向甲银行提示付款，甲银行以“D公司在背书转让时未记载背书日期”为由拒绝付款。E公司于4月7日取得“拒付理由书”后，于4月10日向D公司、C公司、B公司、A公司同时发出追索通知，追索金额包括汇票金额100万元、逾期付款利息及发出追索通知的费用合计102万元。
对E公司的追索，D公司以其未在法定期限内发出追索通知、丧失追索权为由拒绝承担责任；C公司以自己在背书时曾记载“不得转让”字样为由拒绝承担责任；B公司以追索金额超出汇票金额为由拒绝承担责任；A公司以B公司交货不合格为由拒绝承担责任。
要求：根据以上资料，回答下列问题：

如E公司于4月20日才向甲银行提示付款，被拒绝付款，能否向D公司行使追索权？甲银行的票据责任能否免除？并说明理由。